CoE KKU

นิยามของ relation $R$ ในเซต $S$ กำหนดได้ถ้าทุก ๆ คู่ของสมาชิก $(a, b), a, b ∈ S $, แล้ว $a\ R\ b$ เป็นจริงหรือเท็จก็ได้ ถ้า $a\ R\ b$ เป็นจริง เรากล่าวว่า a สัมพันธ์กับ b (a is related to b) Equivalence relation คือ relation R ที่สอดคล้องกับคุณสมบัติสามประการดังนี้:

1. (Reflexive) $a\ R\ a$, for all $a ∈ S$
2. (Symmetric) $a\ R\ b$ if and only if $b\ R\ a.$
3. (Transitive) $a\ R\ b$ and $b\ R\ c$ implies that $a\ R\ c.$

พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้

ความสัมพันธ์ด้วย ≤ ไม่เป็น equivalence relationship ถึงแม้ว่ามันจะเป็น reflexive คือ a ≤ a และ transitive คือ a ≤ b และ b ≤ c แล้วจะได้ว่า a ≤ c แต่มันไม่เป็น symmetric เนื่องจาก ถ้า a ≤ b แล้วจะไม่ได้ b ≤ a

อุปกรณ์ไฟฟ้าที่มีการเชื่อมต่อทางไฟฟ้า (Electrical connectivity) ที่ใช้ลวดโลหะเป็นตัวเชื่อมต่อกันเป็น equivalence relation เนื่องจาก relation นี้เป็น reflexive ก็เพราะว่าอุปกรณ์ไฟฟ้าใด ๆ ก็เชื่อมต่อตัวมันเอง ถ้า a เชื่อมต่อทางไฟฟ้ากับ b ก็หมายความว่า b เชื่อมต่อทางไฟฟ้ากับ a ด้วย ดังนั้น relation นี้จึงเป็น symmetric สุดท้าย ถ้า a เชื่อมต่อกับ b และ b เชื่อมต่อกับ c แล้วหมายความว่า a เชื่อมต่อกับ c ดังนั้น การเชื่อมต่อทางไฟฟ้า จึงเป็น equivalence relation

เมืองสองเมืองมีความสัมพันธ์กันถ้ามันอยู่ในเขตปกครองเดียวกัน และความสัมพันธ์นี้เป็นแบบ equivalence relation ถ้าเมือง a สัมพันธ์กับเมือง b ถ้าหากว่าสามารถเดินทางจาก a ไปยัง b ด้วยการใช้ถนนเป็นเส้นทางสัญจร ความสัมพันธ์นี้เป็นแบบ equivalence relation ถ้าถนนทุกเส้นเป็นถนนที่สัญจรสวนทางกันได้ (two-way road)